-181292-733798

شیوهنشریهنامهیی نگارش مقالههای نشریهمهندسیی مهندسی تونل تونل وو فضاهای زیرزمینی: فضاهایص 1- 4 زیرزمینی tuse.shahroodut.ac.ir
1394 دورهی 4- شمارهی 2/زمستان Tunneling & Underground Space Engineering ( TUSE)

تعیین تنش مماسی اطراف تونلهای مربع شکل با استفاده از توابع پتانسیل مختلط

مهدی زمانی لنجانی1؛ سانازامجدیان2*؛ رضا خرداد3
استادیار؛ دانشکدهی مهندسی عمران، مکانیک سنگ، دانشگاه یاسوج
دانش آموختهی کارشناسی ارشد عمران، خاک و پی، دانشگاه یاسوج
دانشیار؛ دانشکدهی علوم پایه، فیزیک، دانشگاه یاسوج

دریافت دستنوشته: 09/03/1394؛ پذیرش دستنوشته: 24/12/1394

واژگان کلیدی

چکیده

چکیده

توابع پتانسیل مختلط از منظر ریاضی در طبیعت بر هر پدیدهای یک معادله دیفرانسیل حاکم است. بر رفتار مکانیکی محیط اطراف نگاشت همدیس فضاهای زیرزمینی نیز یک معادلهی دیفرانسیل حاکم است .با حل این معادله، میدان جابجائیها و تنشها در تنش مماسی هر یک از نقاط توده سنگ اطراف فضای زیرزمینی محاسبه شده و برای تحلیل پایداری سازه مورد استفاده قرار تونل مربع شکل
تئوری الاستیسیته میگیرد. در این مقاله نحوه فرمول بندی و راه حل تحلیلی برای تعیین تنش اطراف تونل مربعی تحت تنش

های برجا با استفاده از روش پتانسیل مختلط ارائه شده است. همچنین با استفاده از نگاشت همدیس مقطع
تونل مربعی به شکل دایرهای تبدیل شد. توده سنگ بصورت الاستیک و ایزوتروپ در نظر گرفته شده است. سپس با افزایش جملات سری نگاشت ،به بررسی تغییرات تنشهای مماسی اطراف تونل پرداخته و نتایج در قالب نمودار نشان داده شده است. نتایج نشان میدهد با افزایش جملات سری نگاشت، شکل مربع در گوشهها صافتر شده و تنشهای مماسی در آنها افزایش مییابند.

1- مقدمه

* شیراز؛ شهرک استقلال؛ خیابان شهیدان فرصتیان؛ کوچه 2/2؛ جنب ساختمان طاها و دیبا؛ کدپستی:7189794116؛ شماره تلفن: 07158002455؛ آدرس
sanaz.amjadian@gmail.com :پست الکترونیک

تونل یکی از مهمترین سازههای زیرزمینی است که کاربرد گستردهای در حمل ونقل، مسیر انتقال آب و سایر کاربردها دارد. پایداری حفاریهای زیرزمینی به شکل تونل ،اندازهی دهانه، تنشهای برجا، شرایط خاک و…بستگی دارد. اگرچه شکل دهانه تونل به کاربرد آن بستگی دارد اما طراحی ایمن مستلزم آگاهی از توزیع تنشها و جابجاییهایی است که اطراف تونل اتفاق میافتد. در حالت کلی درتودههای سنگی موجود در اعماق زمین، تنشهایی موسوم به تنشهای برجا وجود دارند که عامل اصلی آنها، وزن طبقات و فعالیتهای تکتونیکی منطقه است. پس از احداث تونل، وضعیت تنشهای موجود در اطراف تونل به هم خورده و آرایش جدیدی پیدا میکنند. تنشهای مذکور تنشهای القایی گفته میشود و مقادیر آنها با تنشهای برجا متفاوتاند. آگاهی و تعیین وضعیت و مقدار تنشهای برجا و القایی از جمله ضرورتهای اصلی طراحی تونل است )Goodman,1982(.
در بسیاری موارد، ممکن است اندازه تنشهای القایی از حد مقاومت سنگ تجاوز کند و باعث خرابی سازه شوند .
مسالهی اغتشاش در وضعیت تنشهای برجا فقط تا فاصله معینی از شعاع تونل ادامه دارد که این فاصله را شعاع تاثیر تونل گویند و در ماورای آن وضعیت تنشها دست نخورده باقی میماند. باتوجه به این که در تونلهای مستطیلی تاثیر شکل مقطع تونل و مخصوصا وجود گوشهها در توزیع تنشها و تمرکز آنها نقش مهمی دارد و همچنین بعضی از مقاطع تونلهای شهری )ایستگاههای مترو( الزاما دایرهای نیستند لذا بررسی اولیهی تنشهای اطراف این تونلها ضروری است.
بنابراین محاسبهی تنش و تغییر مکان در اطراف تونل از اساسیترین نیازهای طراحی تونل استHeidari, et )
.al.,2003)
طراحی تونلها و تحلیل فضاهای زیرزمینی به سه روش انجام میپذیرد: روش تجربی، روش عددی، روش تحلیلی. در روشهای تحلیلی برخلاف روشهای عددی به جوابهای بستهای میرسیم که روند عمومی تاثیر پارامترها را به ما نشان میدهند. در این روشها هرچه خصوصیات مساله به شرایط مفروض نزدیکتر باشد، جواب دقیقتر است. هر چند در بیشتر روابط تحلیلی نیاز به ساده سازیهایی نظیر پذیرفتن رفتار الاستیک خطی سنگ است، اما بعضی از پدیدهها تنها توسط روابط تحلیلی با اطمینان بالا تعیین می-شوند .یکی از روشهای تحلیلی که در به دست آوردن میدان تنش و جابجایی در محیط الاستیک کاربرد دارد، استفاده از توابع پتانسیل مختلط است. تئوری توابع مختلط ابزاری قوی برای حل بسیاری از مسائل الاستیسیته است. تعداد زیادی از کاربردهای اصلی این روش توسط کولوسو) 1909( ارائه شده است. محققین دیگری از جمله موسخیلیشویلی )4591,Muskhelishvili( و ساوین) savin,1961( کاربرد این تئوری را گسترش دادند.
اکساداکلیوس در سال 2002 نشان داد که توابع مختلط میتواند، به صورت موفقیتآمیز برای حل مسائل الاستیسته صفحهای برای هر تونل با مقطع عرضی با یک محور تقارن و کششهای سطحی استفاده شود & Exadaktylos)2002( Stavropoulou,. لی و وانگ در سال 2008 با استفاده از تئوری پتانسیل مختلط در تونلهای دایرهای با آستر تحت تنشهای برجا و برشی یک حل کرنش صفحهای
الاستیک ارائه دادند 2008( (Li & Wang,. این حل را برای تنشهای اطراف تونل در یک محیط ایزوتروپ بر طبق بارهای یکنواخت زمین و فشار وسیله نگهداری استفاده کردند. اولین بار فردی به نام اینگیلیس در سال 1913 با استفاده از توابع تنش ایری توانست روابطی برای نقاط مهم روی مرز بیضی به
دست آورد(Inglis, 1913). عالمی در سال 1392 با استفاده از تئوری توابع پتانسیل مختلط به حل تحلیلی تنش اطراف تونلهای بیضوی تحت میدان برشی پرداخت (Alami,
.2013)
روش تحلیلی در سال 2006 توسط هو و همکاران برای یک سازهی مستطیلی که تحت موج برشی قرار داشت بر اساس تئوری متغیرهای مختلط و نگاشت همدیس ارائه شد (Huo, 2006). آنها تئوری توابع مختلط را برای تعیین تنش و کرنش زمین و تئوری سازهای را برای تنش و کرنش سازه بکار بردند. آنها همچنین از یک آنالیز عددی نیز در کنار آنالیز تحلیلی استفاده کردند. بوبت در سال 2010 روش تحلیلی جدیدی را با استفاده از توابع مختلط برای محاسبه عکسالعمل نگهداری تودهسنگ برای تونلهای دایرهای و مستطیلیشکل عمیق در شرایط زهکشی شده و زهکشی نشده ارائه داد (Bobet, 2010). در مدل او تنش برجای اولیه، تنها تنش برشی بود. باتیستا در سال 2011 میدان تنشها و جابجاییها را در اطراف حفرات غیردایروی با استفاده از توابع مختلط موسخیلیشویلی و نگاشت شوارتز-کریستوفل تعیین
نمود (Batista, 2011). لوگالام و همکاران در سال 2011 صفحهای را با حفرهی مستطیلی تحت خمش بررسی کردند
2011((Louhghalam, et al., . آنها نشان دادند که چه طور روش نگاشت یک به یک متغیر مختلط در کنار آنالیز عددی المان محدود برای تحلیل تنش گوشهها استفاده می-شود .جپاریدز در سال 2013 در قالب یک مثال عددی تنش اطراف یک حفرهی مربعی را با استفاده از برنامهی کامپیوتری Matlab به دست آورد 2013( Japaridze,). او سپس نتایج حاصل را با نتایج حاصل از روش عددی المان محدود مقایسه کرد. کارگر و همکاران در سال 2014 راه حل تحلیلی برای تعیین تنش در اطراف مغارهای گازی تحت فشار داخلی ثابت
ارائه کردند ((Kargar, et al., 2014a. در نهایت جوابهای تحلیلی با مقادیر به دست آمده از نرم افزار اجزا محدود phase 2 مقایسه شده است. همچنین در یک روش نیمه تحلیلی برای تعیین تنش اطراف تونل های غیر دایروی با پوشش بتنی ارائه دادند. آنها برای هر دو منطقه پوشش بتنی و توده سنگ اطراف آن توابع پتانسیل متفاوتی در نظر گرفتند ،به طوری که در سطح تونل و سطح بین تونل و پوشش مربوطه همخوانی بین توابع پتانسیل برای شرایط مرزی وجود دارد
((Kargar, et al., 2014b. در سال 2015 نیز راه حل تحلیلی با استفاده از توابع پتانسیل مختلط برای تعیین تنش در اطراف تونلهای دایرهای شکل همراه با لاینینگ بتنی توسط کارگر و همکاران ارائه شد (2015(Kargar, et al., .
نتایج با نرم فزار abaqus مقایسه شد. به جز در سقف تونل نتایج همگرایی خوبی داشتند. ناظم و همکاران نیز در سال 2015 دو روش عددی جهت تعیین توابع نگاشت همدیس برای شش مقطع مختلف با شکل های نیمدایرهای، سهمی
208375-2140

شکل و قوسی ارائه دادند. در توابع آنها تعداد هشت تا ده پارامتر به کار رفته که توسط روشهای بهینهسازی حداقل مربعات خطاها و غیرخطی محاسبه شدهاند Nazem, et al., )
.)5102

2- بیان مساله که در آن:
-20224-105010

مساله مورد بررسی، تعیین تنش در اطراف تونل مربعی شکل است. حل مساله از روش اعداد مختلط فقط برای شکل دایره )3( ممکن است، پس اگر شکل دیگری از مساله وجود داشته باشد،
با این شرط که نگاشت مناسب برای تبدیل شکل مورد نظر به

دایره در اختیار باشد، مساله قابل حل میشود. تمام محیط-
2849975482600

های نامتناهی با یک سوراخ به شکل دلخواه با نگاشت زیر به که

عرض تونل مستطیلی و

طول آن است. اگر بیرون یا داخل دایرهی واحد تبدیل میشوند:

باشد مستطیل افقی خواهد بود به این معنی که ضلع بزرگتر موازی محور

است. اگر

باشد مستطیل قائم میشود یعنی ضلع بزرگتر آن موازی محور

است و اگر

شد مربع خواهد بود که حالت خاصی از مستطیل است.

طبق نظریه کولوسوو و موسخیلیشویلی، توابع پتانسیل

ζ

صفحهای دارای یک حفرهی مربعی مطابق شکل 1 و

ζ

بر حسب مولفه های تنش در مختصات قطبی به مفروض است. مرکز حفره در مبدا مختصات واقع است. برای صورت زیر بیان میگردد )4591,Muskhelishvili(:
محاسبهی توزیع تنش اطراف تونل معادل حفرهی مربعی در
-20224-25399

صفحهی

،

، محیط بیرون مربع میتواند به
محیط بیرون دایرهی واحد در صفحهی مختلط

،

نگاشته شود.

و

به ترتیب محورهای همچنین با قرار دادن

در معادلات )4( افقی و قائم در دستگاه مختصات و و

محورهای قائم و معادلات زیر به دست میآید:
-2022450800

افقی در دستگاه مختصات

هستند &(Timoshenko
.Goodier, )0791
55975431800

که در معادلات) 5(:
-4562489246

شکل1- نگاشت حفرهی مربعی شکل به دایرهای به شعاع
واحد این نگاشت توسط ساوین ارائه شده و آن در حالت کلی
به صورت معادلهی زیر است 1961( (Savin, : روی سطح تونل

وهمچنین

و

، در نتیجه میتوان نوشت:

ζ

6

که در اینجا ، و

به ترتیب مولفههای مماسی ،شعاعی و برشی تنش در صفحهی

میباشند. شکل کلی توابع مختلط

و

به صورت معادلات)7( است:

که در آن

نیروهای خارجی هستند. برای به دست آوردن

ζ

و

ζ

از روابط)9( که توسط موسخیلیشویلی )4591,Muskhelishvili( و ساوین
)savin,1961( ارائه شد استفاده میشود

ζ

:
107696-23748

تابع

، به عنوان تابع مرزی تنش معرفی و به صورت زیر تعریف میشود:
375920-76199

نیز مزدوج تابع

است.

3- تحلیل تنش اطراف تونل مربعی
با توجه به این که مربع حالت خاصییی از مسییتطیل اسییت)

λ (، برای یافتن تابع نگاش ت از معادلهی) 2( استفادهکرده و مقدار

در نظر گرفته می شی ود؛ بنابراینمیتوان نوشت:

در سادهترین حالت میتوان دو جملهی اول این سری را در نظر گرفت:

802005406400

-36194431800

با جایگذاری

به جای

و

و جدا کردن قسمت حقیقی و موهومی آن به دست میآید:
705866-81565

با رسم معادلات) 12( در مختصات کارتزین شکل تونل مطابق شکل 2 قابل رسم است.

شکل2- نمایی از تونل مربعی تحت نگاشت دو جملهای

با توجه به این که

از رابطهی)3( به دست میآید، با قرار دادن

در این رابطه میتوان نوشت:

که

اندازهی ضلع تونل مربعی میباشد. شعاع انحنای گوشههای تونل از رابطهی) 13( به دست میآید 1961( (Savin, :

1135126128239

با توجه به رابطهی) 11( میتوان روابط) 14( را نوشت:

در کشش یا فشار تک محوره)

و

( که

همان تنش افقی و

تنش قائم و

تنش برشی هستند. با توجه به معادلهی )7( میتوان نوشت:

بدون حضور نیروهای خارجی روابط) 7( به شکل معادلات) 16( درمیآیند:
5156200

با جایگذاری معادلهی) 11( در معادلات) 16( میتوان نوشت:

با جایگذاری معادلات) 11( و) 15( در معادلهی) 9( بر حسب شرایط مرزی معادلات زیر به دست میآیند:

به کمک معادلات) 14( و در شرایط مرزی میتوان نوشت:

با رجوع به اولین معادلهی 8 میتوان برای سمت چپ
آن نوشت:

و سمت راست آن:

با برقراری تساوی بین چپ و راست معادله ضرایب

آیند:

با جایگذاری این مقادیر درفرمول

ζ

، به دست میآید:

می
-10794-261220

-19049-210420

را برابر 23 عبارتند از:

با رجوع به دومین معادلهی 8 میتوان برای سمت چپ آن نوشت:

و سمت راست آن:

که در آن:

با برقراری تساوی بین چپ و راست دومین معادلهی 8:

با جایگذاری این مقادیر درفرمول

، به دست میآید:
21761450

حال با به دست آمدن

و

و جایگذاری این مقادیر در معادلات )17( میتوان دو تابع

و

را به دست آورد:
648081-126999

3-1- تنش مماسی اطراف تونل مربعی در حالت نگاشت دو جمله ای
-36194795624

1462405917973

برای شرایط تنش تک محوره ی افقی)

( و با توجه به تابع نگاشت

معادلات )30( به شکل زیر نوشته میشوند:
با جایگذاری توابع پتانسیل به دست آمده و تابع نگاشت مربوط به آن میتوان تنش مماسی اطراف تونل در حالت

)

( و

را به دست آورد:
1691005-1136632

1640205-1111232

-36194-1062467

-36194-501632

و در حالت

34

3-2- تنش مماسی اطراف تونل مربعی در حالت نگاشت سه جملهای
در این حالت برای دستیابی به دقت بالاتر، سه جمله از نگاشت در نظر گرفته میشود:
887095-10459

1316355-10459

-3619450800

ζζ

شعاع انحنای گوشههای تونل در این حالت برابر است با:

36

که در مقایسه با حالت قبل کاهش یافته است. این کاهش زاویه همان طور که در شکل 3 نشان داده شده ،محسوس است.

شکل3- نمایی از تونل مربعی تحت نگاشت سه جملهای
دو تابع پتانسیل مختلط برای حالت تنش افقی برجای تک محوره به شکل زیر نوشته میشود:

که میتوان نوشت:

1858645431800

و در نتیجه:

-36194424325

-36194144925

دو تابع پتانسیل مختلط برای حالت تنش قائم برجای تک محوره به شکل زیر نوشته می
و نهایتا تنش مماسی در این حالت به شکل معادلهی
268605194455

1665605194455

1741805194455

-36194214345

)41( نوشته میشود:
3-3- تنش مماسی اطراف تونل مربعی در حالت نگاشت چهار جمله ای
نگاشت زیر چهار جمله از نگاشت کلی مربع را در بردارد:

در این حالت شعاع انحنای گوشههای تونل برابر است با:

43

که در مقایسه با دو حالت قبل کاهش چشمگیری داشته است و در شکل 4 نشان داده شده است.

شکل4- نمایی از تونل مربعی تحت نگاشت چهار جملهای

دو تابع پتانسیل

و

برای شرایط-مرزی و

به شکل زیر در میآیند:



قیمت: تومان

دسته بندی : مهندسی تونل

دیدگاهتان را بنویسید