همانند قبل درصدد يافتن تخمينهايي هستيم كه مجموع مجذورات باقيمانده‌ها را حداقل كند. به عبارت ديگر هدف حداقل كردن است يا حداقل كردن يا حداقل كردن:

(3-20)                                            

به بيان ديگر را به گونه‌اي انتخاب مي‌كنيم كه فرم كوادراتيك (درجه دو) مذكور در بالا حداقل شود. براحتي مي‌توان نشان داد كه:

(3-21)            

نکته مهم : برای استفاده از متن کامل تحقیق یا مقاله می توانید فایل ارجینال آن را از پایین صفحه دانلود کنید. سایت ما حاوی تعداد بسیار زیادی مقاله و تحقیق دانشگاهی در رشته های مختلف است که می توانید آن ها را به رایگان دانلود کنید

                                                   

عمل حداقل كردن با مساوي صفر قرار دادن مشتقات جزئي حاصل مي‌شود كه در نتيجه خواهيم داشت:

(3-22)                                                                                  

مادامي كه داراي رتبه كامل بوده و وجود داشته باشد (دترمينان غير صفر باشد) بدست آوردن عبارتي بر حسب ممكن خواهد بود. اين امر معادل است با مستقل خطي بودن دستگاه معادلات (براي عرض از مبدا و ضرائب زاويه‌اي) بنابراين:

(3-23)                                                                         

براي حصول اطمينان از اينكه مينيمم مورد نظر بدست آمده است مي‌توان مشتق جزئي ثانويه را به قرار زير محاسبه نمود.

(3-24)                                                                         

با در نظر گرفتن اين مطلب كه مثبت معين است (هر عنصر واقع بر قطر اين ماتريس نمايانگر مجموع مربعات مقادير يك متغيير مستقل مي‌باشد) در نتيجه مجموع مربعات باقيمانده‌ها را به حداقل مي‌رساند.

به طور كلي در روشهاي رگرسيون براي بازسازي خلاء‌هاي آماري ،آمار ايستگاه تحت بررسي را متغيير وابسته و آمار ايستگاههاي مجاور (كه انتخاب آن‌ها شرايطي دارد كه در ادامه شرح داده خواهد شد) به عنوان متغييرهاي مستقل منظور مي‌كنيم. بعد از يافتن ضرائب مدل به ازاء مقادير متغييرهاي مستقل مقدار متغيير وابسته (همان خلاء آماري) را پيدا مي‌كنيم.

3-3-2- روش نسبت نرمال

در اين روش ابتدا ايستگاههايي كه داراي آمار طولاني مدت بوده و شرايط جغرافيايي و اقليمي يكساني با ايستگاه ناقص دارند به عنوان ايستگاه‌هاي شاهد انتخاب مي‌شوند. بارندگي در ايستگاه ناقص متناسب با نسبت بين ميانگين بارندگي در آن به ميانگين بارندگي در ايستگاه شاهد ضربدر بارندگي همزمان ايستگاه شاهد مي‌باشد كه از طريق فرمول زير به دست مي‌آيد:

(3-25)                                     

= بارندگي ايستگاه ناقص

= نرمال بارندگي ايستگاه ناقص

= نرمال بارندگي ايستگاه‌هاي شاهد

= بارندگي ايستگاه‌هاي شاهد همزمان با بارندگي ايستگاه ناقص

3-3-3- روش عكس فاصله

اين روش كه ابتدا در سازمان هواشناسي آمريكا به كار گرفته شد بدين صورت است كه پس از مشخص كردن موقعيت ايستگاههاي منطقه بر روي نقشه توپوگرافي كه با استفاده از مختصات جغرافيايي آنها صورت مي‌گيرد ايستگاه ناقص را به عنوان مركز محور مختصات قرار داده و سپس مختصات هر يك از ايستگاههاي اطراف آن را نسبت به اين محور مختصات بدست مي‌آوريم مسلم است كه ايستگاههاي نزديكتر به ايستگاه ناقص سهم بيشتري در بازسازي آن داشته و در نتيجه بايد ضريب وزني بيشتري به آن اختصاص يابد اين ضريب وزني از طريق فرمول زير و براي هر يك از ايستگاهها محاسبه مي‌گردد:

(3-26)                                                                              

W = ضريب وزني ايستگاه شاهد

X,y= طول و عرض مختصاتي ايستگاه شاهد

سپس بارندگي در ايستگاه ناقص از فرمول زير محاسبه مي‌شود:

(3-27)                                               

3-3-4- روش‌هاي زمين آماري[1]

در بررسي‌هاي آمار كلاسيك نمونه‌هايي كه از كل جامعه به منظور شناخت آن برداشت مي‌شوند فاقد اطلاعات مكاني در فضا بوده در نتيجه مقدار اندازه‌گيري شده يك كميت يعني در يك نمونه خالص هيچگونه اطلاعي در مورد مقدار همان كميت در نمونه‌گيري به فاصله معين و معلوم در بر نخواهد داشت. در حاليكه در زمين آمار علاوه بر مقدار يك كميت معين در يك نمونه وضعيت مكاني نمونه نيز مورد توجه قرار مي‌گيرد. بدين لحاظ مي‌توان موقعيت مكاني نمونه‌ها را همراه با مقدار كميت مورد نظر يك جا مورد تحليل قرار داد. به عبارت ديگر بايد بتوان بين مقادير مختلف يك كميت در جامعه نمونه‌ها و فاصله نمونه‌ها و جهت قرارگيري آنها نسبت به هم ارتباطي برقرار كرد. اين ارتباط مكاني (فاصله‌اي و حقيقي) بين مقدار يك كميت در جامعه نمونه‌هاي برداشت شده ممكن است در قالبهاي رياضي قابل بيان باشد به اين قالبهاي رياضي ساختار مكاني گفته مي‌شود. بنابراين در زمين آمار ابتدا به بررسي وجود يا عدم وجود ساختار مكاني بين داده‌ها پرداخته مي‌شود و سپس در صورت وجود ساختار مكاني تحليل داده‌ها انجام مي‌گيرد البته ممكن است نمونه‌هاي مجاور تا فاصله معيني در قالب ساختار مكاني بهم وابسته باشند. در اين حالت بديهي است كه ميزان تشابه بين مقادير مربوط به نمونه‌هاي نزديكتر احتمالاً بيشتر است. زيرا در صورت وجود ساختار فضايي، تغييرات ايجاد شده در يك فضاي معين شانس بيشتري براي تاثيرگذاري روي فضاهاي نزديك به خود را نسبت به فضاهاي دورتر از خود دارند. بنابراين از ديدگاه زمين آمار هر نمونه تا يك حداكثر فاصله معين با نمونه‌هاي اطراف خود ارتباط دارد. اين فاصله حداكثر كه دامنه تاثير ناميده مي‌شود داراي اهميت فراواني است و در حقيقت نشان دهنده فاصله‌ايست كه در آن مي‌توان از تخمينگرهاي زمين آماري استفاده كرد. با توجه به توضيحات بالا معلوم مي‌شود كه در زمين آمار مي‌توان با استفاده از داده‌هاي يك كميت در مختصات معلوم، مقدار همان كميت در نقطه‌اي با مختصات معلوم ديگر (واقع در درون دامنه‌اي كه ساختار مكاني حاكم است) تخمين زد.

3-3-4-1- تعريف زمين آمار

زمين آمار به شاخه‌اي از علم آمار گفته مي‌شود كه مبتني بر تئوري متغييرهاي ناحيه‌ايست كه توسط ماترون (1960) پايه‌گذاري شده است و به اصطلاح با داده‌ها يا متغييرهاي مكاني سروكار دارد از اينرو مترادف با آمار مكاني است. زمين آمار در مفهوم ديگر خود به كاربرد تمامي روشهاي آماري كه در علوم زمين مورد استفاده هستند از جمله آمار كلاسيك و آمار فضايي اطلاق مي‌شود.

3-3-4-2- روش‌هاي تخمين:

در زمين آمار، روشهاي مختلفي براي تخمين وجود دارد كه در زير دو روش عمده آن معرفي مي‌گردد.

3-3-4-2-1- روش ميانگين متحرك وزني[2]

در روش ميانگين متحرك وزني مقدار يك متغيير در نقطه‌اي كه نمونه‌برداري انجام نشده باشد از روي نقاط مجاورش با استفاده از فرمول زير تخمين زده مي‌شود:

(3-28)                                                                  

= مقدار برآورد شده متغيير z در نقطه x

= مقدار مشاهده شده z در نقطه

= وزن نسبت داده شده به مقدار مشاهده شده i

n= تعداد مشاهدات

در روش WMA وزنها با توجه به فاصله هر نقطه معلوم نسبت به نقطه مجهول و بدون توجه به موقعيت دلخواه پراكندگي نقاط حول نقطه تخمين، تعيين مي‌شوند، بدين ترتيب كه به نقاط نزديكتر وزن بيشتري اختصاص داده مي‌شود نقاط داراي فاصله يكسان وزن يكساني دريافت مي‌كنند. در واقع نقاط با فاصله كمتر اثر بيشتري در تخمين مي‌گذارند مقدار وزن در روش WMA از رابطه زير محاسبه مي‌شود:

(3-29)                                                                               

= فاصله نقطه مشاهده شده iام تا نقطه تخمين زده شده

= توان وزن دهي فاصله و n تعداد نقاط همسايگي

توان در دقت برآورد تاثير مي‌گذاردبدين ترتيب كه توانهاي بزرگتر به نقاط نزديكتر وزنهاي بيشتري نسبت مي‌دهند در صورتيكه توانهاي كوچكتر وزنها را به طور يكنواخت‌تري بين نقاط مجاور تقسيم مي‌كند در واقع در اين روش با كاهش ميزان نرم شدگي افزايش مي‌يابد. انتخاب توان در روش WMA به فاصله بين نقاط معلوم و مجهول بستگي دارد و مي‌توان از روش cross-validation توان مناسب را بدست آورد. اين تكنيك بر اين اساس است كه هر بار يك نقطه مشاهده‌اي حذف شده و براي آن از روي نقاط مجاور مقداري برآورد مي‌شود سپس مقدار واقعي به محل قبلي برگردانده شده و براي تمامي نقاط شبكه اين عمل تكرار مي‌شود. در نهايت با توجه به مقادير مشاهده شده و برآورد شده مقدار خطاي مربوط به هر توان محاسبه و با مقايسه آنها بهترين توان مشخص مي‌شود.

3-3-4-2-2- روش كريجينگ

فرمول كلي تخمين كريجينگ به صورت زير است:

(3-30)                                                               

= مقدار مشاهده شده z در نقطه x

= مقدار تخمين زده شده z در نقطه x

= وزن يا اهميت نسبت داده شده به مقدار z در نقطه

به اين نوع كريجينگ، كريجينگ خطي مي‌گويند. زيرا ترتيب خطي از n داده است. شرط استفاده از اين تخميگر آنست كه متغيير z توزيع نرمال داشته باشد. در صورتيكه متغيير مورد نظر توزيع نرمال نداشته باشد بايد از كريجنگ غير خطي استفاده كرد و يا مي‌توان ابتدا تبديلي پيدا كرد كه توزيع مورد نظر را به نرمال تبديل كند و آنگاه روي داده‌هاي تبديل يافته كريجينگ خطي انجام داد از آنجا كه تخمينگر كريجنگ بهترين تخمين‌گر نااريب است لذا بايد عاري از خطاي سيستماتيك باشد و واريانس تخمين آن نيز حداقل باشد. براي نيل به شرط عاري از خطا بودن بايستي ميانگين خطاي تخمين صفر باشد.

(3-31)                                                               

كه در آن :

= مقدار واقعي z در نقطه

= مقدار تخميني z در نقطه

E( ) به مفهوم اميد رياضي است.

رابطه فوق را مي‌توان به صورت زير نوشت:

(3-32)                                                          

در نتيجه مي‌توان نوشت:

(3-33)                                                      

و يا:

(3-34)                                                     

از طرفي كه m ميانگين مقدار z در تمام محيط است كه به مختصات بستگي ندارد بنابراين رابطه 3-34 را مي‌توان بدين صورت نوشت:

(3-35)                                                                         

كه در آن است لذا بايد رابطه زير برقرار باشد:

(3-36)                                                                                  

بنابراين نااريب بودن كريجينگ در شرايطي برقرار است كه مجموع ضرائب كريجينگ معادل واحد باشد اما براي برقراري شرط دوم بايد واريانس تخمين را محاسبه و به حداقل رساند.

(3-37)

از طرفي ثابت مي‌شود كه:

(3-38)                                                         

(3-39)                                         

و نيز :

(3-40)                                            

كه در اين روابط:

: مقدار هم تغيير نما در نقطه مورد تخمين (به ازاء h=0)

C0i: مقدار هم تغيير نما بين نقطه مورد تخمين و نمونه iام

Cij: مقدار هم تغيير نما بين نمونه i و نمونه j

: وزن نسبت داده شده به نمونه j,i

             (3-41)

از طرفي

                                                                         (3-42)

در نتيجه

                                                                         (3-43)

از جايگزيني مقدار تغيير نما به جاي هم تغيير نما و استفاده از به جاي واريانس تخمين معادله فوق به صورت زير در خواهد آمد:

                                     (3-44)

كه در آن:

: مقدار تغيير نما بين نمونه i و نقطه مورد تخمين

: مقدار تغيير نما در نقطه مورد تخمين (h=0)

: مقدار تغيير نما بين نمونه j,i

بدين ترتيب براي آنكه واريانس تخمين كريجينگ حداقل شود لازم است تابع برحسب ضرايب كريجينگ با رعايت شرط مي نيمم شود. بنابراين برقراري شرط دوم منجر به حل مساله بهينه سازي محدود زير مي شود:

                          (3-45)

اين مساله بهينه سازي را مي توان با استفاده از ضرائب لاگرانژ حل كرد با در نظر گرفتن ضرائب لاگرانژ بايد n مشتق جزئي زير برابر صفر باشد:

             i=1,2,…,n                           (3-46)

اين رابطه در حقيقت يك دستگاه معادلات خطي يا n+1 معادله و n+1 مجهول (n مجهول و يك مجهول (ضرائب لاگرانژ)) مي باشد و با محاسبه مشتقات معادلات كريجينگ به صورت زير در مي آيد.

                 j=1,2,…,n                           (3-47)

با توجه به اينكه مي توان يك دستگاه معادله خطي را به صورت حاصل ضرب ماتريسي نوشته و از روشهاي ماتريسي دستگاه معادلات را حل كرد معادلات فوق نيز به صورت زير بازنويسي مي شوند.

برای دیدن قسمت های دیگر این تحقیق لطفا” از منوی جستجوی سایت که در قسمت بالا قرار دارد استفاده کنید. یا از منوی سایت، فایل های دسته بندی رشته مورد نظر خود را ببینید.

لینک دانلود متن کامل

  • 1

دیدگاهتان را بنویسید